Question

8．已知点$（{\sqrt{2}，2}）$与点$（{-2，-\frac{1}{2}}）$分别在幂函数f（x），g（x）的图象上．
（1）分别求幂函数f（x），g（x）的解析式，并在同一直角坐标系中画出两个函数的图象；
（2）观察图象，并指出当x为何值时，有：①f（x）＞g（x）；②f（x）=g（x）；③f（x）＜g（x）．

Answer 1

分析 （1）由点$（{\sqrt{2}，2}）$与点$（{-2，-\frac{1}{2}}）$分别在幂函数f（x），g（x）的图象上，可得函数的解析式，进而画出两个函数的图象；
（2）数形结合，可以得到①当x＜0，或x＞1时，f（x）＞g（x）；②当x=1时，f（x）=g（x）；③当0＜x＜1时，f（x）＜g（x）．

解答 解：（1）设f（x）=x^a，g（x）=x^b，
由点$（{\sqrt{2}，2}）$与点$（{-2，-\frac{1}{2}}）$分别在幂函数f（x），g（x）的图象上可得：
${\sqrt{2}}^{a}=2$，（-2）^b=$-\frac{1}{2}$，
解得：a=2，b=-1，
故f（x）=x²，g（x）=x^-1，
故在同一直角坐标系中画出两个函数的图象，如图所示：

（2）由图可得：
①当x＜0，或x＞1时，f（x）＞g（x）；
②当x=1时，f（x）=g（x）；
③当0＜x＜1时，f（x）＜g（x）．

点评 本题考查的知识点是幂函数的图象和性质，数形结合思想，难度不大，属于基础题．