Question

7．已知f（x）=log_a$\frac{2+x}{2-x}$（a＞0且a≠1）
（1）求f（x）的定义域；
（2）判断f（x）的奇偶性；
（3）当 a＞1时，求使f（x）＞0成立的x的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用使对数有意义的条件得到关于x的不等式解之；
（2）判断f（-x）与f（x）的关系，得到函数的奇偶性；
（3）已知a＞1，得到真数大于0，解分式不等式即可．

解答 解：（1）由$\frac{2+x}{2-x}＞0$得到-2＜x＜2，所以f （x） 的定义域是（-2，2）；
（2）因为f（-x）=$lo{g}_{a}\frac{2-x}{2+x}=-log\frac{2+x}{2-x}=-f（x）$，所以f（x）为奇函数．
（3）由于a＞1，所以log_a$\frac{2+x}{2-x}$＞0?$\frac{2+x}{2-x}$＞1?$\frac{2+x}{2-x}$-1＞0?$\frac{2x}{2-x}＞0$?x（x-2）＜0?0＜x＜2．

点评 本题考查了函数定义域求法，奇偶性的判断以及不等式解法；熟练掌握对数函数的性质是解答本题的关键．