Question

4．已知四棱锥P-ABCD，PA⊥底面ABCD，其三视图如下，若M是PD的中点．
（1）求证：PB∥平面MAC；
（2）求证：CD⊥平面PAD；
（3）求直线CM与平面PAD所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （1）由三视图还原原图形，可得四棱锥P-ABCD的底面为正方形，连接AC，BD相交于O，则BO=DO，又M为PD的中点，由三角形中位线定理可得OM∥PB，再由线面平行的判定可得PB∥平面MAC；
（2）由已知PA⊥平面ABCD，得PA⊥CD，结合ABCD为正方形，得CD⊥AD，由线面垂直的判定可得CD⊥平面PAD；
（3）由（2）知，∠CMD为直线CM与平面PAD所成角．求解直角三角形得答案．

解答 （1）证明：由三视图还原原几何体如图，PA⊥平面ABCD，底面ABCD为正方形．

连接AC，BD相交于O，则BO=DO，又M为PD的中点，
连接OM，则OM∥PB，
∵OM?平面AMC，PB?平面AMC，
∴PB∥平面MAC；
（2）证明：∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥CD，
又ABCD为正方形，∴CD⊥AD，
又PA⊥AD=A，
∴CD⊥平面PAD；
（3）由（2）知，∠CMD为直线CM与平面PAD所成角．
∵PA=2，AD=1，∴PD=$\sqrt{5}$，则MD=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，
∴MC=$\sqrt{（\frac{\sqrt{5}}{2}）^{2}+{1}^{2}}=\frac{3}{2}$，则sin∠CMD=$\frac{CD}{CM}=\frac{1}{\frac{3}{2}}=\frac{2}{3}$．
∴直线CM与平面PAD所成角的正弦值$\frac{2}{3}$．

点评 本题考查直线与平面平行、直线与平面垂直的判定，考查线面角的求法，考查空间想象能力和思维能力，是中档题．