Question

设满足以下两个条件的有穷数列a₁，a₂，…，a_n为n（n=2，3，4，…）阶“期待数列”：
①a₁+a₂+…+a_n=0；②|a₁|+|a₂|+…+|a_n|=1．
（Ⅰ）分别写出一个单调递增的3阶和4阶“期待数列”；
（Ⅱ）若等比数列{a_n}为2014阶“期待数列”，求公比q的值；
（Ⅲ）若一个等差数列{a_n}既是2k（k∈N^*）阶“期待数列”又是递增数列，求该数列的通项公式．

Answer 1

考点：数列与函数的综合,等比关系的确定

专题：函数的性质及应用,等差数列与等比数列

分析：（1）运用定义，结合等差数列的性质书写简单些，（2）分q=1，q≠1，讨论，结合题目给出的定义，求解．（3）根据等差数列的性质求和公式的出a₁+a₂+…+a_k=-

1

2

，
a_k+1+a_k+2+••+a_2k=

1

2

，再运用代数运算求解，即可．

解答： 解：（1）3阶“期待数列”：-

1

2

，0，

1

2

；
4阶“期待数列”：-

3

8

，-

1

8

，

1

8

，

3

8

；
（2）若q≠1，①a₁+a₂+…+a₂₀₁₄=

a1(1-q2014)

1-q

=0，得q=-1，
②|a₁|+|a₂|+…+|a₂₀₁₄|=1，a₂₀₁₄=

1

2014

，a₂₀₁₄=-

1

2014

，
若q=1，则a₁+a₂+…+a₂₀₁₄=0，则2014a₁=0，a₂₀₁₄=0，不可能，
综上；q=-1，
（3）一个等差数列{a_n}既是2k（k∈N^*）阶“期待数列”又是递增数列，
公差为d，可知d＞0，
∵a₁+a₂+…+a_2k=0，
∴

1

2

×2k（a₁+a_2k）=0，即a₁+a_2k=0，a_k+a_k+1=0
∵d＞0，∴a₁＜0，a_2k＞0，a_k＜0，a_k+1＞0，
由题目中的条件可知：a₁+a₂+…+a_k=-

1

2

，
a_k+1+a_k+2+••+a_2k=

1

2

，
两式相减得：k²d=1，d=

1

k2

，
又ka₁+

k(k-1)

2

×

1

k2

=-

1

2

，
a₁=

1-2k

2k2

，
∴a_n=a₁+（n-1）d=

1-2k

2k2

+（n-1）

1

k2

=

1

k2

n-

2k+1

2k2

，（n∈N^*）

点评：本题综合考查了数列的概念，性质，新定义等知识，属于难题．