Question

有下列命题：
①若集合{x|ax²-2x-1=0}为单元素集，则实数a=-1；
②函数f（x）=2^x-x²的零点有2个；
③函数y=cos（x-

π

4

）cos（x+

π

4

）的图象中，相邻两个对称中心的距离为π；
④函数y=

x+3

x-1

的图象关于点（1，1）对称；
⑤函数y=sinx（x∈[-π，π]）图象与x轴围成的图形的面积是S=

∫

π -π

sinxdx；
⑥若ξ-N（1，σ²），且P（0≤ξ≤1）=0.3，则P（ξ≥2）=0.2．
其中所有真命题的序号是

 

（写出所有正确命题的编号）．

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：简易逻辑

分析：取a=0说明①错误；由两函数y=2^x与y=x²的交点个数为3个说明②错误；求出函数y=cos（x-

π

4

）cos（x+

π

4

）的周期说明③错误；
把函数y=

x+3

x-1

变形，结合反比例函数图象的对称性说明④正确；直接求出函数y=sinx（x∈[-π，π]）图象与x轴围成的图形的面积说明⑤错误；
由已知直接求出P（ξ≥2）=0.2说明⑥正确．

解答： 解：对于①，若a=0，则{x|ax²-2x-1=0}={-

1

2

}，此时集合为单元素集，命题①错误；
对于②，函数f（x）=2^x-x²的零点个数即为两函数y=2^x与y=x²的交点个数，除了一个负的零点外，2，4也是函数的零点，共3个，命题②错误；
对于③，y=cos（x-

π

4

）cos（x+

π

4

）=

1

2

[cos2x+cos

π

2

]=

1

2

cos2x，
∴T=π，则相邻两个对称中心的距离为

π

2

，命题③错误；
对于④，函数y=

x+3

x-1

=

x-1+4

x-1

=1+

4

x-1

，∴y=

x+3

x-1

的图象关于点（1，1）对称，命题④正确；
对于⑤，函数y=sinx（x∈[-π，π]）图象与x轴围成的图形的面积是S=

∫

0 -π

-sinxdx

+∫

π 0

sinxdx≠

∫

π -π

sinxdx，命题⑤错误；
对于⑥，若ξ-N（1，σ²），且P（0≤ξ≤1）=0.3，则P（0≤ξ≤2）=0.6，∴P（ξ≥2）=0.2，命题⑥正确．
故答案为：④⑥．

点评：本题考查了命题的真假判断与应用，考查基本初等函数的图象和性质，训练了正态分布概率的求法，是中档题．