Question

已知椭圆的短轴为2

3

，左、右焦点分别为F₁、F₂，点P在椭圆上，且满足△PF₁F₂的周长为6．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若直线l与椭圆交于A、B两点，△ABO面积为

3

，判断|OA|²+|OB|²是否为定值？若为定值，求出定值；若不为定值，说明理由．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：计算题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）运用待定系数法，设出椭圆方程，由题意得，2b=2

3

，2a+2c=6，又a²=b²+c²，解出a，b即可；
（2）设直线l：y=kx+m，联立椭圆方程和直线方程，消去y，运用韦达定理，弦长公式和三角形的面积公式，化简整理，得到3+4k²=2m²，再由|OA|²+|OB|²=x₁²+x₂²+y₁²+y₂²代入化简整理，即可得到为定值．

解答： 解：（1）设椭圆的标准方程为：

x2

a2

+

y2

b2

=1．
由椭圆的短轴为2

3

，即有2b=2

3

，
由于△PF₁F₂的周长为6，则2a+2c=6，
又a²=b²+c²，
解得a=2，b=

3

，c=1，
∴椭圆C方程为：

x2

4

+

y2

3

=1；
（2）设直线l：y=kx+m，联立椭圆方程，消去y，
得到：（3+4k²）x²+8kmx+4m²-12=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则x₁+x₂=

-8km

3+4k2

，x₁x₂=

4m2-12

3+4k2

，
判别式△=64k²m²-4（3+4k²）（4m²-12）＞0，
即3+4k²＞m²，
点O到直线的距离d=

|m|

1+k2

，
弦长AB=

1+k2

|x₁-x₂|，
则△ABC面积为S=

1

2

d•|AB|=

1

2

1+k2

•|x₁-x₂|•

|m|

1+k2

=

3

，
即有m²（

64k2m2

(3+4k2)2

-

16m2-48

3+4k2

）=12，化简得，（3+4k²）²-4（3+4k²）m²+4m⁴=0，
即为（3+4k²-2m²）²=0，即3+4k²=2m²，检验判别式大于0，
则k²=

2m2-3

4

，x₁+x₂=

-4k

m

，x₁x₂=2-

6

m2

，
则|OA|²+|OB|²=x₁²+x₂²+y₁²+y₂²=（1+k²）[（x₁+x₂）²-2x₁x₂]+2km（x₁+x₂）+2m²
=（1+

2m2-3

4

）[

16• 2m2-3 4

m2

-2（2-

6

m2

）]-

16× 2m2-3 4 ×m2

2m2

+2m²
=2m²+1-4m²+6+2m²=7．
故|OA|²+|OB|²为定值，且为7．

点评：本题考查椭圆的方程和性质及运用，考查联立直线方程和椭圆方程，消去未知数，运用韦达定理，弦长公式，和面积公式，考查化简和整理的运算求解能力，具有一定的运算量，属于综合题．