Question

某旅游景点预计2014年1月份起前x个月的旅游人数的和p（x）（单位：万人）与x的关系近似满足p（x）=

1

2

x（x+1）•（39-2x），（x∈N⁺，x≤12）已知第x月的人均消费额q（x）（单位：元）与x的近似关系是 q（x）=

35-2x，(x∈N+，1≤x≤6) 16 x ，(x∈N+，7≤x≤12)

（1）写出2014年第x月的旅游人数f（x）（单位：万人）与x的函数关系式；
（2）试问2014年哪个月的旅游消费总额最大，最大旅游消费额为多少万元？

Answer 1

考点：分段函数的应用

专题：应用题,函数的性质及应用

分析：（1）先计算x=1时的值，第x月的旅游人数f（x）=P（x）-P（x-1），代入可得结果；
（2）第x月旅游消费总额为g（x）=f（x）•q（x），用分段函数表示，在求每一段的最大值．

解答： 解：（1）当x=1时，f（1）=p（1）=37，
当2≤x≤12，且x∈N^*时，f（x）=P（x）-P（x-1）=-3x²+40x．
验证：x=1时，37符合f（x））=-3x²+40x
∴f（x））=-3x²+40x（x∈N^*，且1≤x≤12））
（2）第x月旅游消费总额为g（x）=f（x）•q（x）=

(35-2x)(-3x2+40x)，(x∈N+，1≤x≤6) 16 x (-3x2+40x)，(x∈N+，7≤x≤12)

=

6x3-185x2+1400x，(x∈N+，1≤x≤6) -48x+640，(x∈N+，7≤x≤12)

当1≤x≤6，且x∈N⁺时，g′（x）=18x²-370x+1400，令g′（x）=0，
解得x=5，x=140（舍去）
∴当1≤x＜5时，g′（x）＞0，当5＜x≤6时，g′（x）＜0，
∴当x=5时，g（x）_max=g（5）=3125（万元）
当7≤x≤12，且x∈N^*时，g（x）=-48x+640是减函数，
∴当x=7时，g（x）_max=g（7）=304（万元），
综上，2013年第5月份的旅游消费总额最大，最大月旅游消费总额为3125万元．

点评：本题主要考查实际应用题，读懂题意，列出函数表达式，再应用函数的性质解决实际问题．