Question

设数列{a_n}的前n项和为S_n，已知a₁=1，S_n+1=4a_n+2
（1）设b_n=a_n+1-2a_n，证明数列{b_n}是等比数列；
（2）令c_n=

an

2n-1

，求c_n及数列a_n．

Answer 1

考点：数列的求和,等比关系的确定

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）依题意，可求得b₁=a₂-2a₁=3，a_n+2-2a_n+1=2（a_n+1-2a_n），即b_n+1=2b_n，从而可证数列{b_n}为等比数列；
（2）由（1）知等比数列{b_n}中b₁=3，公比q=2，可求得

an+1

2n+1

-

an

2n

=

3

4

，知数列{

an

2n

}是首项为

1

2

，公差为

3

4

的等差数列，于是可求得

an

2n

=

1

2

+（n-1）×

3

4

=

3

4

n-

1

4

，而C_n=

an

2n-1

，于是可求C_n及a_n．

解答： 证明：（1）由已知有a₁+a₂=4a₁+2，解得a₂=3a₁+2=5，
故b₁=a₂-2a₁=3，
又a_n+2=S_n+2-S_n+1=4a_n+1+2-（4a_n+2）=4a_n+1-4a_n，
于是a_n+2-2a_n+1=2（a_n+1-2a_n），即b_n+1=2b_n，
因此数列{b_n}是首项为3，公比为2的等比数列．
（2）由（1）知等比数列{b_n}中b₁=3，公比q=2，
所以a_n+1-2a_n=3×2^n-1，于是

an+1

2n+1

-

an

2n

=

3

4

，
因此数列{

an

2n

}是首项为

1

2

，公差为

3

4

的等差数列，

an

2n

=

1

2

+（n-1）×

3

4

=

3

4

n-

1

4

，
∴C_n=

an

2n-1

=

2an

2n

=2（

3

4

n-

1

4

）=

3

2

n-

1

2

，
∴a_n=（3n-1）•2^n-2．

点评：本题考查数列递推关系的应用与等比关系的确定，由b_n=a_n+1-2a_n=3×2^n-1，得到

an+1

2n+1

-

an

2n

=

3

4

是关键，考查转化思想与运算能力，属于中档题．