Question

5．如图，三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥BC，D为PC的中点，E为PB的中点．
（Ⅰ）求证：BC∥平面ADE；
（Ⅱ）若PA=AB=BC=2，求三棱锥A-BDE的体积．

Answer 1

分析 （I）由中位线定理得出DE∥BC，故而BC∥平面ADE；
（II）证明BC⊥平面PAB，得出DE⊥平面PAB，于是V_A-BDE=V_D-ABE=$\frac{1}{3}$S_△ABE•DE．

解答 证明：（Ⅰ）∵D为PC的中点，E为PB的中点，
∴DE为△PBC的中位线，∴DE∥BC，
∵DE?平面ADE，BC?平面ADE，
∴BC∥平面ADE．
解：（Ⅱ）∵PA⊥平面ABC，BC?平面ABC，
∴PA⊥BC，又BC⊥AB，PA∩AB=A，
∴BC⊥平面PAB，
由（Ⅰ）可知DE∥BC，
∴DE⊥平面PAB，
∵PA=AB=2，E是PB的中点，
∴S_△ABE=$\frac{1}{2}$S_△PAB=$\frac{1}{2}×2×2×\frac{1}{2}$=1，
又∵DE=$\frac{1}{2}$BC=1．
∴V_A-BDE=V_D-ABE=$\frac{1}{3}$×1×1=$\frac{1}{3}$．

点评 本题考查了线面平行的判定，棱锥的体积计算，属于基础题．