Question

2．解下列关于x的不等式．
（1）（x+4）（x+5）²（2-x）³＜0；
（2）|4x²-10x-3|＜3；
（3）$\frac{{x}^{2}-4x+1}{3{x}^{2}-7x+2}$＜1．

Answer 1

分析 （1）将原不等式等价转化后，由一元二次不等式和解法求出解集，并用穿根法借助于数轴画出来；
（2）将原不等式去掉绝对值，转化为一元二次不等式组，由一元二次不等式的解法求出解集；
（3）通分后将原不等式等价转化，利用穿根法借助于数轴画出图象，再求出解集．

解答 解：（1）原不等式等价于（x+4）（x+5）²（x-2）³＞0，
∴$\left\{\begin{array}{l}{x≠5}\\{（x+4）（x-2）＞0}\end{array}\right.$，解得x＜-4或x＞2且x≠-5，
如图所示：
∴原不等式解集为{x|x＜-4或x＞2且x≠-5}；
（2）将|4x²-10x-3|＜3去掉绝对值号得，
-3＜4x²-10x-3＜3，
∴原不等式等价于不等式组$\left\{\begin{array}{l}{4{x}^{2}-10x＞0}\\{4{x}^{2}-10x-6＜0}\end{array}\right.$，
则$\left\{\begin{array}{l}{2x（2x-5）＞0}\\{2（x-3）（2x+1）＜0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x＜0或x＞\frac{5}{2}}\\{-\frac{1}{2}＜x＜3}\end{array}\right.$，
∴原不等式的解集为{x|$-\frac{1}{2}＜x＜0$或$\frac{5}{2}＜x＜3$}；
（3）由$\frac{{x}^{2}-4x+1}{3{x}^{2}-7x+2}＜1$ 得，$\frac{{-2x}^{2}+3x-1}{3{x}^{2}-7x+2}＜0$，
∴原不等式等价于$\frac{（2x-1）（x-1）}{（3x-1）（x-2）}＞0$，即（2x-1）（x-1）（3x-1）（x-2）＞0，
如图所示：
∴原不等式解集为{x|x  $＜\frac{1}{3}$或$\frac{1}{2}＜x＜1$ 或x＞2}．

点评 本题考查高次不等式、绝对值不等式、分式不等式的等价转化问题，一元二次不等式的解法，以及穿根法的应用，考查数形结合思想，转化思想，化简、变形能力．