Question

14．若$\overrightarrow a，\overrightarrow b$是两个非零向量，且$|{\overrightarrow a}|=|{\overrightarrow b}|=\frac{{\sqrt{3}}}{3}|{\overrightarrow a+\overrightarrow b}|$，则$\overrightarrow b$与$\overrightarrow a-\overrightarrow b$的夹角为$\frac{2π}{3}$．

Answer 1

分析 对|$\overrightarrow{a}$|=|$\overrightarrow{b}$|=$\frac{\sqrt{3}}{3}$|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|两边平方，求出$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$的值，再利用平面向量的夹角公式即可求出$\overrightarrow{b}$与$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$的夹角大小．

解答 解：∵$\overrightarrow a，\overrightarrow b$是两个非零向量，且|$\overrightarrow{a}$|=|$\overrightarrow{b}$|=$\frac{\sqrt{3}}{3}$|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|，
∴${\overrightarrow{a}}^{2}$=$\frac{1}{3}$（${\overrightarrow{a}}^{2}$+2$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$+${\overrightarrow{b}}^{2}$）；
即2$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=${\overrightarrow{a}}^{2}$；
∴$\overrightarrow{b}$•（$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$）=$\overrightarrow{b}$•$\overrightarrow{a}$-${\overrightarrow{b}}^{2}$=$\frac{1}{2}$${\overrightarrow{a}}^{2}$-${\overrightarrow{a}}^{2}$=-$\frac{1}{2}$${\overrightarrow{a}}^{2}$，
|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$|=$\sqrt{{（\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}）}^{2}}$=$\sqrt{{\overrightarrow{a}}^{2}-2\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}{+\overrightarrow{b}}^{2}}$=|$\overrightarrow{a}$|；
∴cos＜$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$＞=$\frac{\overrightarrow{b}•（\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}）}{|\overrightarrow{b}|×|\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}|}$=$\frac{-{\frac{1}{2}\overrightarrow{a}}^{2}}{{\overrightarrow{a}}^{2}}$=-$\frac{1}{2}$；
又＜$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$＞∈[0，π]，
∴$\overrightarrow{b}$与$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$的夹角为$\frac{2π}{3}$．
故答案为：$\frac{2π}{3}$．

点评 本题考查了数量积的运算，两向量夹角的余弦公式，以及向量夹角的范围的应用问题．