Question

17．给出下列命题：
①在正方体上任意选择4个不共面的顶点，它们可能是正四面体的4个顶点；
②底面是等边三角形，侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥；
③若有两个侧面垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱；
④一个棱锥可以有两条侧棱和底面垂直；
⑤一个棱锥可以有两个侧面和底面垂直；
⑥所有侧面都是正方形的四棱柱一定是正方体．
其中正确命题的序号是①⑤．

Answer 1

分析 ①根据正方体中取对应的对角线构成的四面体是正四面体．
②底面是等边三角形，侧面都是等腰三角形的三棱锥不一定是正三棱锥；
③当有两个侧面垂直于底面时，该四棱柱不一定为直四棱柱；
④一个棱锥不能有两条侧棱和底面垂直；
⑤一个棱锥可以有两个侧面和底面垂直；
⑥所有侧面都是正方形的四棱柱不一定是正方体．

解答 解：①在正方体上任意选择4个不共面的顶点，它们可能是正四面体的4个顶点正确，如图四面体B₁-ACD₁是正四面体
；
②底面是等边三角形，侧面都是等腰三角形的三棱锥不一定是正三棱锥，
如图所示，
若AB=BC=AC=VA，且VA⊥平面ABC，但三棱锥V-ABC表示正三棱锥，∴②错误；
③当有两个侧面垂直于底面时，该四棱柱不一定为直四棱柱，
如两个侧面不是相邻的时，侧棱与底面不一定垂直，∴③错误；
④一个棱锥不能有两条侧棱和底面垂直，否则，这两条侧棱互相平行，∴④错误；
⑤一个棱锥可以有两个侧面和底面垂直，如②中图形，∴⑤正确；
⑥所有侧面都是正方形的四棱柱不一定是正方体，
∵各相邻侧面并不一定都互相垂直，∴⑥错误．
故答案为：①⑤

点评 本题主要考查空间中的柱、锥、体的结构特征的应用问题，解题时应对每一个命题进行分析判断，是综合题目．