题目内容

10．已知函数f（x）=alnx-ax-3（a∈R），求函数f（x）的单调区间．

分析 对a进行讨论判断f′（x）的符号，得出f（x）的单调区间．

解答 解：函数f（x）的定义域为（0，+∞），
f′（x）=$\frac{a}{x}$-a=$\frac{a（1-x）}{x}$，
（1）若a=0，则f（x）=-3，f（x）无单调区间；
（2）若a＞0，则当0＜x＜1时，f′（x）＞0，当x＞1时，f′（x）＜0，
∴f（x）的单调递增区间为（0，1），单调递减区间为（1，+∞）；
（3）若a＜0，则当0＜x＜1时，f′（x）＜0，当x＞1时，f′（x）＞0，
∴f（x）的单调递增区间为（1，+∞），单调递减区间为（0，1）．

点评 本题考查了导数与函数单调性的关系，分类讨论思想，属于中档题．

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