Question

5．（1）求证：$\sqrt{3}+\sqrt{7}＜2\sqrt{5}$．
（2）在数列{a_n}中，${a_1}=1，{\;}_{\;}{a_{n+1}}=\frac{{2{a_n}}}{{2+{a_n}}}{\;}_{\;}（n∈{N^+}）$，试猜想这个数列的通项公式．

Answer 1

分析 （1）平方作差即可得出．
（2）在数列{an}中，由${a_1}=1，{\;}_{\;}{a_{n+1}}=\frac{{2{a_n}}}{{2+{a_n}}}{\;}_{\;}（n∈{N^+}）$，可得a₁=1=$\frac{2}{2}$，a₂=$\frac{2{a}_{1}}{2+{a}_{1}}$=$\frac{2}{2+1}$，a₃=$\frac{2}{3+1}$，a₄=$\frac{2}{4+1}$，a₅=$\frac{2}{5+1}$，…，即可猜想出结论．

解答 解：（1）∵$（\sqrt{3}+\sqrt{7}）^{2}$-$（2\sqrt{5}）^{2}$=10+2$\sqrt{21}$-20=2$\sqrt{21}$-10=$\sqrt{84}$-$\sqrt{100}$＜0，
∴$（\sqrt{3}+\sqrt{7}）^{2}$＜$（2\sqrt{5}）^{2}$，
∴$\sqrt{3}+\sqrt{7}＜2\sqrt{5}$．
（2）在数列{an}中，∵${a_1}=1，{\;}_{\;}{a_{n+1}}=\frac{{2{a_n}}}{{2+{a_n}}}{\;}_{\;}（n∈{N^+}）$，
∴a₁=1=$\frac{2}{2}$，a₂=$\frac{2{a}_{1}}{2+{a}_{1}}$=$\frac{2}{2+1}$，a₃=$\frac{2{a}_{2}}{2+{a}_{2}}$=$\frac{2×\frac{2}{3}}{2+\frac{2}{3}}$=$\frac{2}{3+1}$，同理可得：a₄=$\frac{2}{4+1}$，a₅=$\frac{2}{5+1}$，…．
∴可以猜想，这个数列的通项公式是a_n=$\frac{2}{n+1}$．

点评 本题考查了数列递推关系、数列通项公式，考查了猜想归纳能力、推理能力与计算能力，属于中档题．