Question

18．已知y=f（x）是定义在R上的函数，且f（2）=5，对任意的x都有f′（x）＜$\frac{1}{2}$．则f（x）＜$\frac{1}{2}$x+4的解集是（2，+∞）．

Answer 1

分析 构造函数F（x）=f（x）-$\frac{1}{2}$x-4，则F′（x）＜0，故而F（x）为减函数，且F（2）=0，从而得出F（x）＜0的解集．

解答 解：设F（x）=f（x）-$\frac{1}{2}$x-4，
则F′（x）=f′（x）-$\frac{1}{2}$＜0，
∴F（x）是减函数，
∵F（2）=f（2）-5=0，
∴当x＞2时，F（x）＜0，即f（x）＜$\frac{1}{2}$x+4，
当x＜2时，F（x）＞0，即f（x）＞$\frac{1}{2}$x+4．
故答案为：（2，+∞）

点评 本题考查了导数与函数单调性的关系，函数单调性与不等式的解，属于中档题．