Question

15．已知在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠BAC=90°，AB=BB₁=1，直线B₁C与平面ABC成30°的角．
（1）求点C₁到平面AB₁C的距离；
（2）求二面角B-B₁C-A的余弦值．

Answer 1

分析 （1）以A为原点，AB为x轴，AC为y轴，AA₁为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出点C₁到平面AB₁C的距离．
（2）求出平面AB₁C的法向量和平面BB₁的法向量，利用向量法能求出二面角B-B₁C-A的余弦值．

解答 解：（1）∵在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠BAC=90°，
AB=BB₁=1，直线B₁C与平面ABC成30°的角，
∴∠BCB₁=30°，∴B₁C=2，BC=$\sqrt{4-1}$=$\sqrt{3}$，AC=$\sqrt{3-1}$=$\sqrt{2}$，
以A为原点，AB为x轴，AC为y轴，AA₁为z轴，建立空间直角坐标系，
A（0，0，0），C（0，$\sqrt{2}$，0），B₁（1，0，1），C₁（0，$\sqrt{2}$，1），
$\overrightarrow{A{B}_{1}}$=（1，0，1），$\overrightarrow{AC}$=（0，$\sqrt{2}$，0），$\overrightarrow{A{C}_{1}}$=（0，$\sqrt{2}，1$），
设平面AB₁C的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{A{B}_{1}}=x+z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AC}=\sqrt{2}y=0}\end{array}\right.$，取x=1，得$\overrightarrow{n}$=（1，0，-1），
∴点C₁到平面AB₁C的距离d=$\frac{|\overrightarrow{A{C}_{1}}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{1}{\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
（2）平面AB₁C的法向量$\overrightarrow{n}$=（1，0，-1），
B（1，0，0），$\overrightarrow{B{B}_{1}}$=（0，0，1），$\overrightarrow{BC}$=（-1，$\sqrt{2}，0$），
设平面BB₁的法向量为$\overrightarrow{m}$=（a，b，c），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{B{B}_{1}}=c=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{BC}=-a+\sqrt{2}b=0}\end{array}\right.$，
取b=1，得$\overrightarrow{m}$=（$\sqrt{2}，1，0$），
设二面角B-B₁C-A的平面角为θ，
则cosθ=$\frac{|\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}•\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴二面角B-B₁C-A的余弦值为$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

点评 本题考查点到平面的距离的求法，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．