Question

19．定义在R上的函数f（x）满足：对任意x∈R，都有f（-x）=f（x），f（4-x）=f（x）成立，且已知x∈（-1，3]时，f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{cos（\frac{π}{2}x），x∈（-1，1]}\\{1-|x-2|，x∈（1，3]}\end{array}\right.$，则函数g（x）=4f（x）-|x|的零点个数共为（　　）

• A． 12个
• B． 10个
• C． 8个
• D． 6个

Answer 1

分析 由题意可得f（x）为偶函数，且为周期为4的周期函数，画出分别画出y=f（x）与y=$\frac{1}{4}$|x|的图象，通过图象观察，可得它们有8个交点，即可得到零点的个数．

解答 解：∴对任意x∈R，都有f（-x）=f（x），
f（4-x）=f（x）成立，
∴f（x）为偶函数，且为周期为4的周期函数，
∵g（x）=4f（x）-|x|=0，
∴f（x）=$\frac{1}{4}$|x|，
分别画出y=f（x）与y=$\frac{1}{4}$|x|的图象，如图所示，
由图象可知有8个交点，
故函数g（x）有8个零点，
故选：C．

点评 本题考查函数的性质和运用，考查函数方程的转化思想，注意运用数形结合的思想方法，属于中档题．