Question

20．已知抛物线C₁：y²=4x的焦点为F，点P为抛物线上一点，且|PF|=3，双曲线C₂：$\frac{x^2}{a^2}$-$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞0，b＞0）的渐近线恰好过P点，则双曲线C₂的离心率为$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 求得抛物线的焦点和准线方程，运用抛物线的定义可得P的坐标，求得双曲线的渐近线方程，代入点P的坐标，结合双曲线的a，b，c的关系和离心率公式，计算即可得到所求值．

解答 解：抛物线C₁：y²=4x的焦点为F（1，0），准线方程为x=-1，
|PF|=3，由抛物线的定义可得x_P+1=3，
即有x_P=2，y_P=±2$\sqrt{2}$，即P（2，±2$\sqrt{2}$），
双曲线C₂：$\frac{x^2}{a^2}$-$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞0，b＞0）的渐近线方程为y=±$\frac{b}{a}$x，
由题意可得2$\sqrt{2}$=$\frac{2b}{a}$，
即b=$\sqrt{2}$a，
又c=$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$=$\sqrt{{a}^{2}+2{a}^{2}}$=$\sqrt{3}$a，
则离心率e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{3}$，
故答案为：$\sqrt{3}$．

点评 本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用抛物线的定义，以及双曲线的渐近线方程，考查化简整理的运算能力，属于基础题．