Question

已知函数f（x）=

1

3

x³-

1

2

（a+1）x²+ax．
（1）求f（x）的单调区间．
（2）方程f（x）=0仅有一个零点，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,函数的零点

专题：导数的综合应用

分析：（1）通过讨论a的范围，从而得到函数的单调区间；（2）通过讨论a＞1，a＜1，根据极小值大于0，从而得到a的范围．

解答： 解：（1）f′（x）=x²-（a+1）x+a=（x-1）（x-a），
当a＞1时，由f′（x）＞0得x＜1或x＞a，
∴x∈（-∞，1）和（a，+∞）时，f（x）单调递增，x∈（1，a）时，f（x）单调递减；
当a＜1时，由f′（x）＞0，得x＜a或x＞1，
∴x∈（-∞，a）和（1，+∞）时，f（x）单调递增，x∈（a，1）时，f（x）单调递减；
（2）由（1）知x=1和x=a是f（x）得极值点，
a＞1时，f（1）是极大值，f（a）是极小值；
只需f（a）＞0，解得：a＜1，不合题意，
a＜1时，f（a）是极大值，f（1）是极小值，
只需f（1）＞0，解得：

1

6

＜a＜1，
故a的范围是：（

1

6

，1）．

点评：本题考查了函数的单调性，考查了导数的应用，考查了分类讨论思想，是一道中档题．