Question

已知函数f（x）对一切实数x，y∈R都有f（x+y）=f（x）+f（y），且当x＞0时，f（x）＜0，又f（3）=-2．
（1）试判定该函数的奇偶性；
（2）试判断该函数在R上的单调性；
（3）求f（x）在[-12，12]上的最大值和最小值．

Answer 1

考点：抽象函数及其应用,函数奇偶性的判断

专题：函数的性质及应用

分析：（1）取x=y=0有f（0）=0，取y=-x可得，f（-x）=-f（x）；
（2）设x₁＜x₂，由条件可得f（x₂）-f（x₁）=f（x₂-x₁）＜0，从而可得结论；
（3）根据函数为减函数，得出f（12）最小，f（-12）最大，关键是求出f（12）=f（6）+f（6）=2f（6）=2[f（3）+f（3）]=4f（3）=-8，问题得以解决

解答： 解　（1）令x=y=0，得f（0+0）=f（0）=f（0）+f（0）=2f（0），
∴f（0）=0．
令y=-x，得f（0）=f（x）+f（-x）=0，
∴f（-x）=-f（x），
∴f（x）为奇函数．
（2）任取x₁＜x₂，则x₂-x₁＞0，
∴f（x₂-x₁）＜0，
∴f（x₂）-f（x₁）=f（x₂）+f（-x₁）=f（x₂-x₁）＜0，
即f（x₂）＜f（x₁），
∴f（x）为R上的减函数，
（3）∵f（x）在[-12，12]上为减函数，
∴f（12）最小，f（-12）最大，
又f（12）=f（6）+f（6）=2f（6）=2[f（3）+f（3）]=4f（3）=-8，
∴f（-12）=-f（12）=8，
∴f（x）在[-12，12]上的最大值是8，最小值是-8

点评：本题考查抽象函数及其应用，考查函数的奇偶性与单调性及函数的最值，赋值法是解决抽象函数的常用方法，属于中档题．