Question

已知数列{b_n}中，b1+2b2+…+2n-1bn=2n2+n．
（Ⅰ）求数列{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）求数列{b_n}的前n项和S_n．

Answer 1

考点：数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）由已知条件，当n≥2时分别取n和n-1，得到两个表达式，再把这两个表达式作差相减，能够求出数列{b_n}的通项公式．
（Ⅱ）由{b_n}的通项公式，利用错位相减法能求出数列{b_n}的前n项和S_n．

解答： 解：（Ⅰ）∵b1+2b2+…+2n-1bn=2n2+n，
∴当n≥2时，
b1+2b2+…+2n-1bn=2n2+n…①
b1+2b2+…+2n-2bn-1=2(n-1)2+n-1…②
①-②得：2^n-1b_n=4n-1
∴bn=

4n-1

2n-1

(n≥2)…（4分）
当n=1时，b₁=3，满足上式
故bn=

4n-1

2n-1

．…（6分）
（Ⅱ）∵bn=

4n-1

2n-1

，
∴S_n=3+7×

1

2

+…+（4n-1）×(

1

2

)n-1，…③

1

2

Sn=3×

1

2

+7×（

1

2

）²+…+（4n-5）×(

1

2

)n-1+（4n-1）×(

1

2

)n，…④
两式相减，得

1

2

Sn=3+4[

1

2

+(

1

2

)2+…+(

1

2

)n-1]-（4n-1）•(

1

2

)n．
∴S_n=14-

4n+7

2n-1

．…（12分）

点评：本题考查数列的通项公式和前n项和的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意迭代法和错位相减求和法的合理运用．