Question

已知数列{log₂（a_n-1）}（n∈N^*）为等差数列，a₁=3，a₃=9，
（1）求数列{a_n}的通项公式．
（2）求和S_n=

1

a2-a1

+

1

a3-a2

+…+

1

an+1-an

．

Answer 1

考点：数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由已知条件，能推导出{log₂（a_n-1）}是首项为1，公差为1的等差数列，从而得到log₂（a_n-1）=n，由此能求出数列{a_n}的通项公式．
（2）根据数列{a_n}的通项公式，先求出

1

an+1-an

，由此利用等比数列的前n项和公式能求出S_n=

1

a2-a1

+

1

a3-a2

+…+

1

an+1-an

．

解答： 解：（1）∵数列{log₂（a_n-1）}（n∈N^*）为等差数列，a₁=3，a₃=9，
∴log₂（a₁-1）=log₂2=1，
log₂（a₃-1）=log₂8=3，
∴{log₂（a_n-1）}是首项为1，公差为1的等差数列，
∴log₂（a_n-1）=1+n-1=n，
∴an-1=2n，
∴an=2n+1．
（2）∵an=2n+1，
∴

1

an+1-an

=

1

2n+1-2n

=

1

2n

，
∴S_n=

1

a2-a1

+

1

a3-a2

+…+

1

an+1-an

=

1

2

+

1

22

+…+

1

2n

=

1 2 (1- 1 2n )

1- 1 2

=1-

1

2n

．

点评：本题考查数列的通项公式和前n项和公式的求法，解题时要熟练掌握等差数列和等比数列的性质，是中档题．