Question

如图，椭圆E：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左焦点为F₁，右焦点为F₂，过F₁的直线交椭圆于A、B两点，△ABF₂的周长为8，且△AF₁F₂面积最大时，△AF₁F₂为正三角形．
（1）求椭圆E的方程；
（2）设动直线l：y=kx+m与椭圆E有且只有一个公共点P，且与直线x=4相交于点Q，证明：点M（1，0）在以PQ为直径的圆上．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）已知△ABF₂的周长为8，即4a=8，求得a，再由△AF₁F₂面积最大时，△AF₁F₂为正三角形可得椭圆的离心率，则c可求，进一步求得b，则椭圆方程可求；
（2）联立直线和椭圆方程，化为关于x的一元二次方程后由判别式等于0得到k与m的关系，从而求得直线与椭圆的公共点的坐标，再由直线y=kx+m与x=4联立求得Q的坐标，然后利用取特殊值法求得以PQ为直径的圆与x轴的交点坐标，进一步证明

MP

•

MQ

=0得答案．

解答： 解：（1）∵过F₁的直线交椭圆于A、B两点，且△ABF₂的周长为8，
∴4a=8，a=2．
∵△AF₁F₂面积最大时，△AF₁F₂为正三角形，
∴e=

1

2

，即

c

a

=

1

2

，
∴c=1，
∴b²=a²-c²=3．
∴椭圆E的方程为

x2

4

+

y2

3

=1；
（2）由

y=kx+m x2 4 + y2 3 =1

，消元可得（4k²+3）x²+8kmx+4m²-12=0．
∵动直线l：y=kx+m与椭圆E有且只有一个公共点P（x₀，y₀），
∴m≠0，△=0，
∴（8km）²-4×（4k²+3）×（4m²-12）=0．
∴4k²-m²+3=0．
此时x₀=-

4km

4k2+3

=-

4k

m

，y₀=

3

m

，
即P（-

4k

m

，

3

m

）
由

y=kx+m x=4

，得Q（4，4k+m）．
取k=0，m=

3

，此时P（0，

3

），Q（4，

3

），
以PQ为直径的圆为（x-2）²+（y-

3

）²=4，交x轴于点M₁（1，0）或M₂（3，0）．
取k=-

1

2

，m=2，此时P（1，

3

2

），Q（4，0），
以PQ为直径的圆为（x-

5

2

）²+（y-

3

4

）²=

45

16

，交x轴于点M₃（1，0）或M₄（4，0）．
故若满足条件的点M存在，只能是M（1，0），
证明如下∵

MP

=(-

4k

m

-1，

3

m

)，

MQ

=(3，4k+m)，
∴

MP

•

MQ

=-

12k

m

-3+

12k

m

+3=0
故以PQ为直径的圆恒过y轴上的定点M（1，0）．

点评：本题椭圆方程的求法，考查直线与椭圆的位置关系的应用，体现了数学转化思想方法，训练了特值化思想在解题中的应用，考查了计算能力，是高考试卷中的压轴题．