Question

如图，四边形ACBD内接于圆O，对角线AC与BD相交于M，AC⊥BD，E是DC中点连结EM交AB于F，作OH⊥AB于H，求证：
（1）EF⊥AB          
（2）OH=ME．

Answer 1

考点：与圆有关的比例线段

专题：直线与圆

分析：（1）由已知条件推导出ME=CE，∠CME=∠MCB，从而得到∠AMF=∠ABM，由此能够证明EF⊥AB．
（2）由已知条件推导出EF∥OH，HM∥OE，从而得到四边形HMEO是平行四边形，由此能够证明OH=ME．

解答： 证明：（1）∵AC⊥BD，CE=DE，
∴ME=CE，∠CME=∠MCB，
∵∠ABM=∠MCB，∠AMF=∠EMC，
∴∠AMF=∠ABM，
∴∠FAM+∠AMF=∠ABM+MAB=90°，
∴EF⊥AB．
（2）∵E是CD的中点，∴OE⊥CD，OH⊥AB，
由（1）EF⊥AB，又OH⊥AB，
EF∥OH，同理，HM∥OE，
∴四边形HMEO是平行四边形，
∴OH=ME．

点评：本题考查直线垂直的证明，考查线段相等的证明，解题时要认真审题，注意圆的性质的灵活运用．