Question

在平面直角坐标，直线l：y=

3

x-3经过椭圆E：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的一个焦点，且点（0，b）到直线l的距离为2．
（1）求椭圆E的方程；
（2）A、B、C是椭圆上的三个动点A与B关于原点对称，且|AC|=|CB|．问△ABC的面积是否存在最小值？若存在，求此时点C的坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）先求出c，再利用点（0，b）到直线l的距离为2，求出b，从而可求a，即可得出椭圆E的方程；
（2）分类讨论，直线AB的斜率存在且不为0时，设AB：y=kx，代入椭圆方程，求出A的坐标，同理求出C的坐标，表示出面积，利用基本不等式，即可得出结论．

解答： 解：（1）对于直线l：y=

3

x-3，令y=0，可得x=

3

，
∴焦点为（

3

，0），
∴c=

3

，
∵点（0，b）到直线l的距离为2，
∴

|-b-3|

2

=2，
∵b＞0，
∴b=1，
∴a=2，
∴椭圆E的方程

x2

4

+y2=1；
（2）①当AB为长轴（或短轴）时，由题意，C是椭圆的上下顶点（或左右顶点），S△ABC=

1

2

•|OC||AB=ab=2；
②当直线AB的斜率存在且不为0时，设AB：y=kx，代入椭圆方程，可得xA2=

4

1+4k2

，yA2=

4k2

1+4k2

，
∵|AC|=|CB|，O为AB的中点，
∴OC⊥AB，
∴直线OC的方程为y=-

1

k

x，
同理可得xC2=

4k2

k2+4

，yC2=

4

k2+4

，
∴OA2=

4(1+k2)

1+4k2

，OC2=

4(1+k2)

k2+4

，
∴S_△ABC=2S_△OAC=|OA||OC|=

4(1+k2)

(1+4k2)(4+k2)

≥

4(1+k2)

(1+4k2)+(4+k2) 2

=

8

5

，
当且仅当1+4k²=4+k²，即k=±1时取等号，
∴k=±1时，△ABC的面积最小值

8

5

，
此时，C（

2 5

5

，±

2 5

5

）或C（-

2 5

5

，±

2 5

5

）．

点评：本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查分类讨论的数学思想，考查基本不等式的运用，属于中档题．