Question

设抛物线y²=2px（p＞0）的焦点为F，点A(0，

2

)，线段FA的中点在抛物线上．设动直线l：y=kx+m与抛物线相切于点P，且与抛物线的准线相交于点Q，以PQ为直径的圆记为圆C．
（1）求p的值；
（2）试判断圆C与x轴的位置关系；
（3）在坐标平面上是否存在定点M，使得圆C恒过点M？若存在，求出M的坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：向量与圆锥曲线

分析：（1）由抛物线方程求出焦点坐标，再由中点坐标公式求得FA的中点，由中点在抛物线上求得pD的值；
（2）联立直线方程和抛物线方程，由直线和抛物线相切求得切点坐标，进一步求得Q的坐标（用含k的代数式表示），求得PQ的中点C的坐标，求出圆心到x轴的距离，求出(

1

2

|PQ|)2，由半径的平方与圆心到x轴的距离的平方差的符号判断圆C与x轴的位置关系；
（3）法一、假设平面内存在定点M满足条件，设出M的坐标，结合（2）中求得的P，Q的坐标，求出向量

MP

，

MQ

的坐标，由

MP

•

MQ

=0恒成立求解点M的坐标．
法二、由（2）中求出的P，Q的坐标求出PQ的中点坐标，得到以PQ为直径的圆的方程，利用方程对于任意实数k恒成立，系数为0列式求解x，y的值，从而得到顶点M的坐标．

解答： 解：（1）利用抛物线的定义得F(

p

2

，0)，
故线段FA的中点的坐标为(

p

4

，

2

2

)，代入方程y²=2px，
得2p×

p

4

=

1

2

，解得p=1；
（2）由（1）得抛物线的方程为y²=2x，从而抛物线的准线方程为x=-

1

2

，
由

y2=2x y=kx+m

，得方程

k

2

y2-y+m=0，
由直线与抛物线相切，得

k≠0 △=0

?

k≠0 m= 1 2k

，
且y=

1

k

，从而x=

1

2k2

，即P(

1

2k2

，

1

k

)，
由

y=kx+ 1 2k x=- 1 2

，解得Q(-

1

2

，

1-k2

2k

)，
∴PQ的中点C的坐标为C(

1-k2

4k2

，

3-k2

4k

)．
圆心C到x轴距离d2=(

3-k2

4k

)2，|PQ|2=(

1+k2

2k2

)2+(

1+k2

2k

)2，
∵(

1

2

|PQ|)2-d2=

1

4

[(

1+k2

2k2

)2+(

1+k2

2k

)2]-(

3-k2

4k

)2=(

3k2-1

4k2

)2
∵k≠0，
∴当k=±

3

3

时，(

1

2

|PQ|)2-d2=0，圆C与x轴相切，
当k≠±

3

3

时，(

1

2

|PQ|)2-d2＞0，圆C与x轴相交；
（3）方法一、假设平面内存在定点M满足条件，由抛物线对称性知点M在x轴上，
设点M坐标为M（x₁，0），
由（2）知，P(

1

2k2

，

1

k

)，Q(-

1

2

，

1-k2

2k

)，
∴

MP

=(

1

2k2

-x1，

1

k

)，

MQ

=(-

1

2

-x1，

1-k2

2k

)．
由

MP

•

MQ

=0得，(

1

2k2

-x1)(-

1

2

-x1)+

1

k

×

1-k2

2k

=0．
∴

x

2 1

-

1-k2

2k2

x1+

1-2k2

4k2

=0，即x1=

1

2

或x1=

1-2k2

2k2

．
∴平面上存在定点M(

1

2

，0)，使得圆C恒过点M．
证法二、由（2）知P(

1

2k2

，

1

k

)，Q(-

1

2

，

1-k2

2k

)，PQ的中点C的坐标为C(

1-k2

4k2

，

3-k2

4k

).|PQ|2=(

1+k2

2k2

)2+(

1+k2

2k

)2．
∴圆C的方程为(x-

1-k2

4k2

)2+(y-

3-k2

4k

)2=

1

4

[(

1+k2

2k2

)2+(

1+k2

2k

)2]．
整理得x2+

1

2

x+y2-

1

2

+

1

2k2

(

1

2

-x)-(

3-k2

2k

)y=0．
上式对任意k≠0均成立，
当且仅当

x2+ 1 2 x+y2- 1 2 =0 1 2 -x=0 y=0

，解得

x= 1 2 y=0

．
∴平面上存在定点M(

1

2

，0)，使得圆C恒过点M．

点评：本题主要考查抛物线的定义和直线与曲线的相切问题，解决此类问题必须熟悉曲线的定义和曲线的图形特征，这也是高考常见题型，是压轴题．