Question

（理）已知双曲线x²-y²=a²（其中a＞0）．
（1）若定点A（4，0）到双曲线上的点的最近距离为

5

，求a的值；
（2）若过双曲线的左焦点F₁，作倾斜角为α的直线l交双曲线于M、N两点，其中α∈（

π

4

，

3π

4

），F₂是双曲线的右焦点．求△F₂MN的面积S．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：综合题

分析：（1）设出双曲线上的点P，由两点间的距离公式得到|AP|，然后对a分类求得|AP|的最小值，进一步求得a的值；
（2）分直线l和x轴垂直和不垂直求解，△F₂MN的面积，垂直时直接计算，不垂直时设出直线方程，和双曲线方程联立后化为关于x的一元二次方程，利用弦长公式求三角形的边长，代入面积公式求面积．

解答： 解：（1）设点P在双曲线上，由题意得：|AP|²=（x-4）²+y²=2（x-2）²+8-a²，
由双曲线的性质，得|x|≥a．
（i）若0＜a≤2，则当x=2时，AP有最小值．最小值|AP|²=8-a²=5，∴a=

3

．
（ii）若a＞2，则当x=a时，AP有最小值，此时|AP|²=a²-8a+16=5，解得a=4+

5

．
（2）F1(-

2

a，0)，|F1F2|=2

2

a，直线l与x轴垂直时，|MN|=2a，此时，△F₂MN的面积S=

1

2

|MN|•|F1F2|=2

2

a2．
直线l与x轴不垂直时，直线l方程为y=tanα(x+

2

a)，
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
将y=tanα(x+

2

a)代入双曲线方程，整理得：
(1-tan2α)x2-2

2

atan2αx-2a2tan2α-a2=0，
x1+x2=

2 2 atan2α

1-tan2α

，x1x2=-

2a2tan2α+a2

1-tan2α

，
(x2-x1)2=(

2 2 tan2α

1-tan2α

)2+

8a2tan2α+4a2

1-tan2α

=

4a2(1+tan2α)

(1-tan2α)2

，
点F₂到直线MN距离d=

|2 2 atanα|

1+tan2α

，
△F₂MN的面积S=

1

2

|MN|d=

1

2

1+tan2α

|x1-x2|

|2 2 atanα|

1+tan2α

=2

2

a2|

sinα

1-2sin2α

|．

点评：本题是直线与圆锥曲线的综合题，考查直线与圆锥曲线的关系，考查分类讨论的数学思想方法，涉及直线与圆锥曲线的关系问题，常把直线方程和圆锥曲线方程联立，利用根与系数的关系解题，是高考试卷中的压轴题．