Question

对于函数f（x）=a-

2

2x+1

（a∈R），
（Ⅰ）用单调性的定义证明函数f（x）的单调性；
（Ⅱ）是否存在实数a使函数f（x）为奇函数，若存在，请说明理由？

Answer 1

考点：函数奇偶性的判断,函数奇偶性的性质

专题：计算题,函数的性质及应用

分析：（Ⅰ）运用单调性的定义，即可判断，注意作差、变形，判断符号；
（Ⅱ）假设存在实数a使函数f（x）为奇函数，则f（0）=0，即可得到a．注意检验．

解答： 解：（Ⅰ）函数f（x）在R上递增．
理由如下：令m＜n，则f（m）-f（n）=（a-

1

2m+1

）-（a-

1

2n+1

）
=

1

2n+1

-

1

2m+1

=

2m-2n

(2m+1)(2n+1)

，
由于m＜n，则2^m＜2ⁿ，
则f（m）-f（n）＜0，即有函数f（x）在R上递增．
（Ⅱ）假设存在实数a使函数f（x）为奇函数，
则f（0）=0，即a-1═0，即a=1．
则函数f（x）=1-

2

2x+1

=

2x-1

2x+1

，
f（-x）+f（x）=

2-x-1

2-x+1

+

2x-1

2x+1

=0，
故函数f（x）为奇函数．

点评：本题考查函数的性质和运用，考查函数的单调性的判断和函数的奇偶性的判断，属于基础题．