题目内容

在大小为60°的二面角α-1-β中，已知AB?α，CD?β，且AB⊥l于B，CD⊥l于D，若AB=CD=1，BD=2，则AC的长为
 
．
考点：与二面角有关的立体几何综合题
专题：空间位置关系与距离
分析：如图所示，
AC
=
AB
+
BD
+
DC
，利用数量积运算性质可得
AC
2=
AB
2+
BD
2+
DC
2+2
AB
•
BD
+2
AB
•
DC
+2
BD
•
DC
，由AB⊥l于B，CD⊥l于D，可得
AB
•
BD
=
BD
•
DC
=0．又在大小为60°的二面角α-1-β中，可得
AB
•
DC
=1×1×cos120°，代入计算即可得出．
解答： 解：如图所示，
AC
=
AB
+
BD
+
DC
，
∴
AC
2=
AB
2+
BD
2+
DC
2+2
AB
•
BD
+2
AB
•
DC
+2
BD
•
DC
，
∵AB⊥l于B，CD⊥l于D，
∴
AB
•
BD
=
BD
•
DC
=0，
又在大小为60°的二面角α-1-β中，
∴
AB
•
DC
=1×1×cos120°=-
1
2
，
∴
AC
2=1+22+1-2×
1
2
=5，
∴|
AC
|=
5
．
故答案为：
5
．
点评：本题考查了向量的多边形法则、数量积运算性质、向量垂直与数量积的关系、二面角的应用，考查了空间想象能力，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
练习册系列答案
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已知cosα=-
5
13
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．
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．
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．
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3
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．
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2
2
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2
2
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．
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A、5B、6C、11D、22

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