Question

在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别是a，b，c，已知c=4，A=

π

3

，且函数f（x）=sinx+cosx的最大值为f（C），则△ABC的周长等于

 

．

Answer 1

考点：正弦定理,两角和与差的正弦函数

专题：计算题,解三角形

分析：由题意可得sin（C+

π

4

）=1，结合0＜C＜π，可解得C，从而可得B，由正弦定理可求得b，a的值，从而可求△ABC的周长．

解答： 解：∵函数f（x）=sinx+cosx=

2

sin（x+

π

4

）的最大值为f（C），
∴可得sin（C+

π

4

）=1，从而解得C+

π

4

=2kπ+

π

2

，k∈Z，由0＜C＜π，可得：C=

π

4

．从而可得：B=π-A-C=π-

π

4

-

π

3

=

5π

12

，
∴由正弦定理可得：b=

csinB

sinC

=

4×sin 5π 12

sin π 4

=2

3

+2，a=

csinA

sinC

=

4×sin π 3

sin π 4

=2

6

．
∴△ABC的周长=a+b+c=2

6

+2

3

+2+4=6+2

6

+2

3

．
故答案为：6+2

6

+2

3

．

点评：本题主要考查了正弦定理，两角和的正弦函数公式的应用，属于基本知识的考查．