Question

已知点M在曲线y=3lnx-x²上，点N在直线x-y+2=0上，则|MN|的最小值为

 

．

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程,两条平行直线间的距离

专题：计算题,导数的概念及应用,直线与圆

分析：当点M是曲线的切线中与直线y=x+2平行的直线的切点时，|MN|取得最小．求出函数y=3lnx-x²的导数，令它为1，求得x=1，即可得到切点坐标，再由点到直线的距离公式计算即可得到最小值．

解答： 解：当点M是曲线的切线中与直线y=x+2平行的直线的切点时，
|MN|取得最小．
故令y′=-2x+

3

x

=1解得，x=1，
故点M的坐标为（1，-1），
故点M到直线y=x+2的最小值为

|1+2+1|

2

=2

2

．
故答案为：2

2

．

点评：本题考查导数的几何意义：函数在某点处的导数即为曲线在该点处的切线的斜率，同时考查两直线平行的条件，运用点到直线的距离公式是解题的关键．