Question

已知△ABC的三个内角A，B，C满足A＞B＞C，其中B=60°，且sinA-sinC+

2

2

cos（A-C）=

2

2

，则A=

 

，C=

 

．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用

专题：三角函数的求值,三角函数的图像与性质,解三角形

分析：直接利用三角形内角和定理求出 A+C=120°，在对三角函数关系式进行恒等变换，利用三角形的内角的大限关系，进行分类讨论，最后求出角的大小．

解答： 解：已知△ABC的三个内角A，B，C，其中B=60°，
则：A+C=120°，
所以：C=120°-A，
sinA-sinC+

2

2

cos（A-C）=

2

2

，
sinA-sin（120°-A）+

2

2

cos(2A-120°)=

2

2

，
整理得：

1

2

sinA-

3

2

cosA+

2

2

(1-2sin2(A-60°))=

2

2

，
sin(A-60°)-

2

sin2(A-60°)=0，
则：sin（A-60°）（1-

2

sin(A-60°)）=0．
由于：A＞B＞C，
所以：0°＜A-60°＜60°，
则：sin（A-60°）≠0，
则：1-

2

sin(A-60°)=0，
由于60°＜A＜120°，
解得：A=105°．
利用三角形内角和定理解得：C=15°，
故答案为：A=105°，C=15°、

点评：本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，三角形内角和定理的应用，三角形内角的讨论及角的求法．