Question

椭圆：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）上存在点P使

PF1

•

PF2

＜0，则离心率e∈（　　）

• A、（0，

  2

  2

  ）
• B、（0，

  2

  2

  ]
• C、（

  2

  2

  ，1）
• D、（

  2

  2

  ，1]

Answer 1

考点：椭圆的简单性质

专题：

分析：据题意，可得以F₁F₂为直径的圆与椭圆C有公共点，因此椭圆短轴的顶点在该圆的内部．由此建立关于a、b、c的不等关系，化简解出a＜

2

c，从而求出离心率的范围．

解答： 解：∵点P满足

PF1

•

PF2

＜0，
∴点P在以F₁F₂为直径的圆的内部，
∴以F₁F₂为直径的圆与椭圆C有公共点，
由此可得椭圆短轴的顶点在在圆的内部，
∴b＜c，即

a2-c2

＜c，化简得a²＜2c²，解得a＜

2

c．
因此，椭圆C的离心率e=

c

a

＞

2

2

．
∵椭圆离心率在（0，1）之间取值，
∴椭圆C的离心率e∈（

2

2

，1）．
故选：C．

点评：本题给出椭圆上存在点P，使点P对两个焦点的张角为钝角，求椭圆离心率的取值范围．着重考查了椭圆的基本概念与简单几何性质、直线的位置关系与圆的定义与标准方程等知识，属于中档题．