Question

已知锐角△ABC中，AD是高，O是外心，AO的延长线交过O、B、C三点的圆于P，自P作PE⊥AB于E，PF⊥AC于F．求证：DEPF是平行四边形．

Answer 1

考点：向量在几何中的应用,平行向量与共线向量

专题：证明题

分析：先证△ADC∽△AEP，从而可得△ADC∽△ACP，则DE：CP=AD：AC=sin∠ACD，又∠PCF=∠ACD，则sin∠PCF=sin∠ACD=PF：CP，所以DE：CP=PF：CP，则DE=PF，同理可证，DF=PE，从而可证得．

解答： 证明：如图所示，∵∠DAC是∠ACD的余角，
又∠BOA=2∠ACD，O是外心，
∴∠BAO也与∠ACD互余，
∴∠DAC=∠BAO，又∠ADC=∠AEP，
所以△ADC∽△AEP，∴AD：AE=AC：AP，
∴△ADC∽△ACP，
∴DE：CP=AD：AC=sin∠ACD，
又∠PCF=∠ACD，∴sin∠PCF=sin∠ACD=PF：CP，
∴DE：CP=PF：CP，∴DE=PF，同理可证，DF=PE，∴DEPF是平行四边形．

点评：本题主要考查了平面几何知识，以及三角形相似的应用，同时考查了学生分析问题和解决问题的能力，以及运算求解的能力．