Question

16．过点P在双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1的右支上，其左、右焦点分别为F₁，F₂，PF₁的垂直平分线过F₂，且原点到直线PF₁的距离恰好等于双曲线的实半轴长，则该双曲线的离心率为（　　）

• A． $\frac{7}{3}$
• B． $\frac{5}{3}$
• C． $\frac{5}{4}$
• D． $\frac{7}{4}$

Answer 1

分析 利用题设条件和双曲线性质在三角形中寻找等量关系，得出a与b之间的等量关系，进而求出离心率．

解答 解：依题意过点P在双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1的右支上，其左、右焦点分别为F₁，F₂，PF₁的垂直平分线过F₂，且原点到直线PF₁的距离恰好等于双曲线的实半轴长，可得|PF₂|=|F₁F₂|，可知三角形PF₂F₁是一个等腰三角形，F₂在直线PF₁的投影是其中点，
由勾股定理可知|PF₁|=4b
根据双曲定义可知4b-2c=2a，整理得c=2b-a，
代入c²=a²+b²整理得3b²-4ab=0，求得$\frac{b}{a}$=$\frac{4}{3}$，
∴e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{1+（\frac{b}{a}）^{2}}$=$\frac{5}{3}$．
故选：B．

点评 本题主要考查三角与双曲线的相关知识点，突出了对计算能力和综合运用知识能力的考查，属中档题．