Question

4．△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，2bcosC-c=2a．
（Ⅰ）求B的大小；
（Ⅱ）若a=3，且AC边上的中线长为$\frac{{\sqrt{19}}}{2}$，求c的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由余弦定理化简已知等式可得：a²+c²-b²=-ac，进而可求cosB=-$\frac{1}{2}$，结合范围B∈（0，π），可求B的值．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得：b²=a²+c²+ac=c²+3c+9，取AC中点D，连接BD，由余弦定理可求cosC=$\frac{{a}^{2}+\frac{{b}^{2}}{4}-\frac{19}{4}}{ab}$，整理可得9+b²-c²=2（9+$\frac{{b}^{2}}{4}$-$\frac{19}{4}$），联立即可解得c的值．

解答 （本题满分为12分）
解：（Ⅰ）∵2bcosC-c=2a，
∴由余弦定理可得：2b•$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}}{2ab}$-c=2a，…3分
∴化简可得：a²+c²-b²=-ac，…4分
∴cosB=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-{b}^{2}}{2ac}$=-$\frac{1}{2}$，…5分
∵B∈（0，π），
∴B=$\frac{2π}{3}$．…6分
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得：b²=a²+c²+ac=c²+3c+9，①…7分
又∵cosC=$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}}{2ab}$，…8分
取AC中点D，连接BD，在△CBD中，cosC=$\frac{B{C}^{2}+C{D}^{2}-B{D}^{2}}{2BC•CD}$=$\frac{{a}^{2}+\frac{{b}^{2}}{4}-\frac{19}{4}}{ab}$，…9分
∴9+b²-c²=2（9+$\frac{{b}^{2}}{4}$-$\frac{19}{4}$），②…11分
把①代入②，化简可得：c²-3c-10=0，
解得：c=5或c=-2（舍去），可得：c=5．…12分

点评 本题主要考查了正弦定理，余弦定理，两角和与差的三角函数公式等基本知识的应用，考查了运算求解能力，考查了函数与方程思想，化归与转化思想，属于中档题．