Question

8．已知离心率e=$\frac{\sqrt{5}}{2}$的双曲线C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的右焦点为F，O为坐标原点，以OF为直径的圆与双曲线C的一条渐近线相交于O、A两点，若△AOF的面积为1，则实数a的值为（　　）

• A． 1
• B． $\sqrt{2}$
• C． 2
• D． 4

Answer 1

分析 利用双曲线的离心率求出渐近线方程，利用三角形的面积，结合离心率即可得到方程组求出a即可．

解答 解：双曲线C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1的右焦点为F，O为坐标原点，
以OF为直径圆与双曲线C的一条渐近线相交于O，A两点，
所以FA⊥OA，则FA=b，OA=a，
△AOF的面积为1，
可得$\frac{1}{2}$ab=1，
双曲线的离心率e=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，可得$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}$=$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}}{{a}^{2}}$=$\frac{5}{4}$，
即$\frac{b}{a}$=$\frac{1}{2}$，
解得b=1，a=2．
故选：C．

点评 本题考查直线与圆锥曲线的位置关系的应用，双曲线的简单性质，考查计算能力．