Question

已知圆C经过A（5，2），B（3-

2

，2-

2

），且圆心C在直线x=3上．
（1）求圆C的方程；
（2）求过D（0，1）点且与圆C相切的两条切线方程．

Answer 1

考点：圆的切线方程,圆的一般方程

专题：综合题,直线与圆

分析：（1）解法1：利用圆心C在直线x=3上，设圆C的方程为（x-3）²+（y-b）²=R²，代入A，B的坐标，可得圆C的方程；解法2：圆心C在AB的垂直平分线l上，求出其方程，与直线x=3联立，求出圆心坐标，可得圆C的方程；
（2）当斜率不存在时，不存在经过D（0，1）的切线；解法1：切线方程为y=kx+1与圆的方程联立，利用方程有唯一一个解，可求切线方程；解法2：利用直线与圆相切，可得圆心C（3，2）到直线kx-y+1=0的距离等于圆的半径，可求切线方程．

解答： 解：（1）解法1：∵圆心C在直线x=3上，
∴设圆C的方程为（x-3）²+（y-b）²=R²．
∵圆C经过A(5，2)，B(3-

2

，2-

2

)，
∴

(5-3)2+(b-2)2=R2 (3- 2 -3)2+(b-2+ 2 )2=R2

，
∴

4+(b-2)2=R2 2+(b-2+ 2 )2=R2

，∴解方程组得

b=2 R=2

，
∴设圆C的方程为（x-3）²+（y-2）²=4．
解法2：∵圆C经过A(5，2)，B(3-

2

，2-

2

)，
∴圆心C在AB的垂直平分线l上，且AB的中点坐标D(4-

2

2

，2-

2

2

)．
∵kAB=

yA-yB

xA-xB

=

2-(2- 2 )

5-(3- 2 )

=

2

2+ 2

=

2

-1，∴kl=-(

2

+1)．
∴直线l方程为y-(2-

2

2

)=-(

2

+1)(x-4+

2

2

)．
∵圆心C在直线x=3上，∴y-(2-

2

2

)=-(

2

+1)(-1+

2

2

)，
∴y=(

2

+1)(1-

2

2

)+2-

2

2

=2，∴圆心C（3，2），
∵R=

(5-3)2+(2-2)2

=2，∴圆C的方程为（x-3）²+（y-2）²=4．
（2）当斜率不存在时，不存在经过D（0，1）的切线；
解法1：当斜率存在时，设切线的斜率为k，则切线方程为y=kx+1．
解方程组

y=kx+1 (x-3)2+(y-2)2=4

，
得（x-3）²+（kx-1）²=4，即（k²+1）x²-2（k+3）x+6=0．
∵方程有唯一一个解，∴△=4（k+3）²-4×6（k²+1）=0，∴5k²-6k-3=0，
∴解方程得k=

3±2 6

5

，∴切线方程y=

3±2 6

5

x+1．
解法2：∵直线与圆相切，∴圆心C（3，2）到直线kx-y+1=0的距离等于圆的半径，
∴d=r=

|3k-2+1|

k2+1

=2，∴

|3k-1|

k2+1

=2，∴4k²+4=9k²-6k+1，
∴5k²-6k-3=0，∴解方程得k=

3±2 6

5

，∴切线方程y=

3±2 6

5

x+1．

点评：本题考查圆的方程，考查直线与圆的位置关系，考查分类讨论的数学思想，考查学生的计算能力，属于中档题．