Question

已知数列{a_n}是公差不为零的等差数列，a₁₀=15，且a₃、a₄、a₇成等比数列．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设b_n=

an

2n

，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

考点：数列的求和,等差数列的前n项和

专题：等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）设数列{a_n}的公差为d，（d≠0），依题意，解方程组

a10=15 a42=a3a7

可求得

a1=-3 d=2

，从而可得数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）由于b_n=

an

2n

=

2n-5

2n

，于是T_n=

-3

2

+

-1

22

+

1

23

+…+

2n-5

2n

，利用错位相减法即可求得数列{b_n}的前n项和T_n．

解答： 解：（Ⅰ）设数列{a_n}的公差为d，（d≠0），
由已知得：

a10=15 a42=a3a7

，即

a1+9d=15 (a1+3d)2=(a1+2d)(a1+6d)

，解之得：

a1=-3 d=2

，
∴a_n=2n-5，（n∈N^*）．
（Ⅱ）∵b_n=

an

2n

=

2n-5

2n

，n≥1．
T_n=

-3

2

+

-1

22

+

1

23

+…+

2n-5

2n

，①

1

2

T_n=

-3

22

+

-1

23

+

1

24

+…+

2n-7

2n

+

2n-5

2n+1

，②
①-②得：

1

2

T_n=

-3

2

+2（

1

22

+

1

23

+…+

1

2n

）-

2n-5

2n+1

=-

1

2

+

1-2n

2n+1

，
∴T_n=-1-

2n-1

2n

（n∈N^*）．

点评：本题考查等差数列的通项公式与错位相减法求和，考查方程思想与等价转化思想的综合运用，考查运算能力，属于中档题．