Question

数列{a_n}前n项和Sn=

n2

4

，数列{b_n}满足3b_n-b_n-1=n（n≥2，n∈N*），
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）求证：当b1≠

1

4

时，数列{b_n-a_n}为等比数列；
（3）在题（2）的条件下，设数列{b_n}的前n项和为T_n，若数列{T_n}中只有T₃最小，求b₁的取值范围．

Answer 1

考点：数列与不等式的综合

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由已知条件，利用公式an=

S1，n=1 Sn-Sn-1，n≥2

能求出数列{a_n}的通项公式．
（2）由已知条件3（b_n-a_n）-（b_n-1-a_n-1）=0，从而得到(bn-an)=

1

3

(bn-1-an-1)，由此能证明{b_n-a_n}是等比数列．
（3）由已知条件推导出bn=

2n-1

4

+(b1-

1

4

)×(

1

3

)n-1，再由数列{T_n}中只有T₃最小，能求出b₁的取值范围．

解答： （1）解：∵数列{a_n}前n项和Sn=

n2

4

，
∴a1=S1=

1

4

，
a_n=S_n-S_n-1=

n2

4

-

(n-1)2

4

=

2n-1

4

，
当n=1时，

2n-1

4

=

1

4

=a1，
∴an=

2n-1

4

，n∈N*．（4分）
（2）证明：∵数列{b_n}满足3b_n-b_n-1=n（n≥2，n∈N*），
∴3（b_n-a_n）-（b_n-1-a_n-1）
=（3b_n-b_n-1）-3a_n+a_n-1=n-n=0，
∴(bn-an)=

1

3

(bn-1-an-1)，且b₁-a₁≠0，
∴{b_n-a_n}是以b₁-a₁为首项、

1

3

为公比的等比数列．（8分）
（3）解：∵{b_n-a_n}是以b₁-a₁为首项、

1

3

为公比的等比数列，
∴bn=

2n-1

4

+(b1-

1

4

)×(

1

3

)n-1，（10分）
∵数列{T_n}中只有T₃最小，
∴

b3＜0 b4＞0

，解得-47＜b₁＜-11，（13分）
此时，b_n+1-b_n=

1

2

-2×(b1-

1

4

)×(

1

3

)n＞0，
于是，{b_n}为递增数列，
∴n≤3时，b_n＜0，n≥4时b_n＞0，符合题意，
综上-47＜b₁＜-11．（15分）

点评：本题考查数列通项公式的求法，考查等比数列的证明，考查首项的取值范围的求法，解题时要认真审题，注意构造法的合理运用．