Question

如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，AP=AB=2

3

，AC=4，D为PC中点，E为PB上一点，且BC∥平面ADE．
（Ⅰ）证明：E为PB的中点；
（Ⅱ）若PB⊥AD，求直线AC与平面ADE所成角的正弦值．

Answer 1

考点：直线与平面所成的角

专题：空间角

分析：（Ⅰ）由已知条件推导出BC∥DE，再由D为PC中点，求出E为PB的中点．
（Ⅱ）由已知条件推导出平面PBC⊥平面ADE，从而得到BC⊥PB．过C作CH⊥ED于H，推导出∠CAH是直线AC与平面ADE所成的角．由此能求出直线AC与平面ADE所成角的正弦值．

解答： （Ⅰ）证明：∵BC∥平面ADE，BC?平面PBC，
平面PBC∩平面ADE=DE，
∴BC∥DE．
∵D为PC中点，
∴E为PB的中点．
（Ⅱ）解：∵AP=AB，E为PB的中点，∴AE⊥PB，
又PB⊥AD，∴PB⊥平面ADE，
得DE⊥PB，且平面PBC⊥平面ADE．
由BC∥DE，得BC⊥PB．
过C作CH⊥ED于H，由平面PBC⊥平面ADE，∴CH⊥平面ADE．
∴∠CAH是直线AC与平面ADE所成的角．
∵BC∥DE，BC⊥PB，∴CH=BE=

1

2

PB=

6

，
∴sin∠CAH=

CH

AC

=

6

4

．

点评：本题考查线段中点的证明，考查直线与平面所成角的正弦值的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．