Question

如图，在斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，点O是A₁C₁的中点，AO⊥平面A₁B₁C₁．已知∠BCA=90°，AA₁=AC=BC=2．
（1）求证：AB₁⊥A_lC；
（2）求点C到平面AA₁B₁的距离．

Answer 1

考点：点、线、面间的距离计算

专题：空间位置关系与距离

分析：（1）由已知条件推导出四边形A₁C₁CA为菱形，从而得到A₁C⊥平面AB₁C₁，由此能够证明AB₁⊥A₁C．
（2）由已知条件得到点C到平面AA₁B₂的距离与点C₁到平面AA₁B₁的距离相等，由此利用等积法能求出C₁到平面AA₁B₁的距离．

解答： （1）证明：∵AO⊥平面A₁B₁C₁，
∴AO⊥B1C1 ，
又∵A₁C₁⊥B₁C₁，且A₁C₁∩AO=0，
∴B₁C₁⊥平面A₁C₁CA，∴A₁C⊥B₁C₁，
又∵AA₁=AC，
∴四边形A₁C₁CA为菱形，
∴A₁C⊥AC₁，且B₁C₁∩AC₁=C₁，
∴A₁C⊥平面AB₁C₁，
∴AB₁⊥A₁C．
（2）∵CC₁∥平面AA₁B₁，
∴点C到平面AA₁B₂的距离与点C₁到平面AA₁B₁的距离相等，
设C₁到平面AA₁B₁的距离为d，
∵VA-A1B1C1=VC1-AA1B1，
∴

1

3

•

1

2

•A1C1•B1C1•AO=

1

3

•S△AA1B1•d，
又∵在△AA₁B₁中，A1B1=AB1=2

2

，AA1=2，S△AA1B1=

7

，
∴d=

2 21

7

．

点评：本题考查异面直线垂直的证明，考查点到平面距离的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．