Question

已知函数f（x）=x|x-a|+bx
（Ⅰ）当a=2，且f（x）是R上的增函数，求实数b的取值范围；
（Ⅱ）当b=-2，且对任意a∈（-2，4），关于x的程f（x）=tf（a）有三个不相等的实数根，求实数t的取值范围．

Answer 1

考点：根的存在性及根的个数判断,函数单调性的性质

专题：计算题,函数的性质及应用

分析：（Ⅰ）去绝对值号得f(x)=x|x-2|+bx=

x2+(b-2)x，x≥2 -x2+(b+2)x，x≤2

，f（x）在R上递增等价于这两段函数分别递增，从而解得；
（Ⅱ）f(x)=x|x-a|-2x=

x2-(a+2)x，x≥a -x2+(a-2)x，x≤a

，tf（a）=-2ta，讨论a以确定函数的单调区间，从而求实数t的取值范围．

解答： 解：（Ⅰ）f(x)=x|x-2|+bx=

x2+(b-2)x，x≥2 -x2+(b+2)x，x≤2

，
因为f（x）连续，
所以f（x）在R上递增等价于这两段函数分别递增，
所以

2-b 2 ≤2 2+b 2 ≥2

，
解得，b≥2；
（Ⅱ）f(x)=x|x-a|-2x=

x2-(a+2)x，x≥a -x2+(a-2)x，x≤a

，tf（a）=-2ta，
当2≤a≤4时，

a-2

2

＜

a+2

2

≤a，
f（x）在（-∞，

a-2

2

）上递增，在（

a-2

2

，a）上递减，在（a，+∞）上递增，
所以f_极大（x）=f（

a-2

2

）=

a2

4

-a+1，
f_极小（x）=f（a）=-2a，
所以

-2a＜-2ta a2 4 -a+1＞-2ta

对2≤a≤4恒成立，
解得：0＜t＜1，
当-2＜a＜2时，

a-2

2

＜a＜

a+2

2

，
f（x）在（-∞，

a-2

2

）上递增，在（

a-2

2

，

a+2

2

）上递减，在（

a+2

2

，+∞）上递增，
所以f_极大（x）=f（

a-2

2

）=

a2

4

-a+1，
f_极小（x）=f（

a+2

2

）=-

a2

4

-a-1，
所以-

a2

4

-a-1＜-2ta＜

a2

4

-a+1对-2＜a＜2恒成立，
解得：0≤t≤1，
综上所述，0＜t＜1．

点评：本题考查了函数的性质的判断与应用，同时考查了数形结合的数学思想，属于难题．