Question

已知f（x）=log_ax，g（x）=2log_a（2x+t-2）（a＞0，a≠1，t∈R）．
（1）当t=5时，求函数g（x）图象过的定点；
（2）当0＜a＜1，x∈[1，2]时，有f（x）≥g（x）恒成立，求实数t的取值范围．

Answer 1

考点：函数恒成立问题,对数函数的单调性与特殊点

专题：函数的性质及应用

分析：（1）通过t=5，化简函数的表达式，利用对数函数经过的特殊点求解即可．
（2）当0＜a＜1，x∈[1，2]时，有f（x）≥g（x）恒成立，转化为

x

≤2x+t-2，在x∈[1，2]时恒成立，通过二次函数的最值求解实数t的取值范围．

解答： （实验班做）
解：（1）当t=5时，g（x）=2log_a（2x+3）（a＞0，a≠1），x=-1时，g（-1）=0，
∴g（x）图象必过定点（-1，0）．
（2）转化为二次函数在某区间上最值问题．由题意知，

1

2

logax≥loga(2x+t-2)，
在x∈[1，2]时恒成立，
∵0＜a＜1，∴

x

≤2x+t-2，在x∈[1，2]时恒成立，
t≥-2x+

x

+2=-2(

x

-

1

4

)2+

17

8

在x∈[1，2]时恒成立，
∴t≥1．
故实数t的取值范围[1，+∞）．

点评：本题考查函数的恒成立问题，对数函数经过的特殊点的求法，考查转化思想的应用．