Question

已知抛物线y²=16x的焦点为F，直线y=k（x-4）与此抛物线相交于P，Q两点，则

1

|FP|

+

1

|FQ|

=（　　）

• A、1
• B、

  1

  2

• C、

  1

  4

• D、

  1

  8

Answer 1

考点：抛物线的简单性质

专题：计算题,直线与圆,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：由抛物线y²=16x可得焦点F（4，0），因此直线y=k（x-4）过焦点．把直线方程与抛物线方程联立得到根与系数的关系，利用弦长公式即可得出．

解答： 解：由抛物线y²=16x可得焦点F（4，0），
因此直线y=k（x-4）过焦点．
设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）．，则|FP|=x₁+4，|FQ|=x₂+4．
联立

y=k(x-4) y2=16x

．化为k²x²-（16+8k²）x+16k²=0（k≠0）．
∵△＞0，∴x₁+x₂=

16+8k2

k2

，x₁x₂=16．
∴

1

|FP|

+

1

|FQ|

=

1

x1+4

+

1

x2+4

=

(x1+x2)+8

x1x2+4(x1+x2)+16

=

16 k2 +16

32+4(8+ 16 k2 )

=

1

4

．
故选C．

点评：本题考查了抛物线的焦点弦问题，注意运用定义法解题，考查联立直线方程和抛物线方程，消去未知数，运用韦达定理和弦长公式，属于中档题．