Question

如图，设S-ABCD是一个高为3的四棱锥，底面ABCD是边长为2的正方形，顶点S在底面上的射影是正方形ABCD的中心．K是棱SC的中点．试求直线AK与平面SBC所成角的大小．

Answer 1

考点：直线与平面所成的角

专题：综合题,空间角

分析：法1：设AK与平面SBC所成角为θ，利用余弦定理求出AK，利用等面积求出A到平面SBC的距离，即可求直线AK与平面SBC所成角的大小．
法2：AC∩BD=O，以O为坐标原点，OA为x轴，OB为y轴，OS为z轴建立空间坐标系．求出平面SBC的一个法向量，

AK

=(-

3 2

2

，0，

3

2

)，利用向量的夹角公式，可求直线AK与平面SBC所成角的大小．

解答： 解：（理）法1：设AK与平面SBC所成角为θ．
因为SC=

32+( 2 )2

=

11

，…（2分）
所以CK=

11

2

．
所以cos∠SCA=

22

11

．…（4分）
所以AK2=AC2+CK2-2AC•CKcos∠SCA=

27

4

．所以AK=

3 3

2

．…（6分）
因为VS-ABC=

1

3

×

1

2

×2×2×3=2=VA-SCB，…（8分）
所以h=

6

S△SBC

=

3 10

5

，…（10分）
因此sinθ=

h

AK

=

2 30

15

…（11分）
则θ=arcsin

2 30

15

…（12分）
解法2：AC∩BD=O，以O为坐标原点，OA为x轴，OB为y轴，OS为z轴建立空间坐标系．则A(

2

，0，0)，B(0，

2

，0)，C(-

2

，0，0)，S(0，0，3)．…（4分）
所以

SB

=(0，

2

，-3)，

SC

=(-

2

，0，-3)，K(-

2

2

，0，

3

2

)．…（6分）
设

m

是平面SBC的一个法向量，易求得

m

=(-

3

2

，

3

2

，1)．…（8分）
设θ为AK与平面SBC所成的角，
因为

AK

=(-

3 2

2

，0，

3

2

)．…（10分）
所以：sinθ=|

m • AK

| m |•| AK |

|=

2 30

15

．…（11分）
所以θ=arcsin

2 30

15

…（12分）

点评：本题考查直线与平面所成的角，考查等体积，考查向量方法的运用，确定向量的坐标是关键．