Question

已知函数f（x）=|x-a|-

9

x

+a，x∈[1，6]，a∈R．
（1）若a=1，试判断并用定义证明函数f（x）的单调性；
（2）当a∈（1，6）时，求函数f（x）的最大值的表达式M（a）．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,利用导数求闭区间上函数的最值

专题：导数的综合应用

分析：（1）当a=1时，由x∈[1，6]，化简f（x），用单调性定义讨论f（x）的增减性；
（2）由a∈（1，6）知，f（x）=

2a-(x+ 9 x )，  1≤x≤a x- 9 x ，     a＜x≤6

，分1＜a≤3与3＜a＜6讨论函数的单调性，从而求得f（x）的最大值M（a）．

解答： 解：（1）当a=1，x∈[1，6]时，f（x）为增函数，
证明：∵f（x）=x-

9

x

，任取x₁，x₂∈[1，6]，且x₁＜x₂，
则f（x₁）-f（x₂）=(x1-

9

x1

)-(x2-

9

x2

)=

(x1-x2)(x1x2+9)

x1x2

＜0，
∴f（x）在[1，6]是增函数；
（2）∵a∈（1，6），∴f（x）=

2a-(x+ 9 x )，  1≤x≤a x- 9 x ，     a＜x≤6

，
①当1＜a＜3时，f（x）在[1，a]上是增函数，在[a，6]上也是增函数，
∴当x=6时，f（x）取得最大值

9

2

，
②当3＜a＜6时，f（x）在[1，3]上是增函数，在[3，a]上是减函数，在[a，6]上是增函数，
而f（3）=2a-6，f（6）=

9

2

，
当3＜a≤

21

4

时，2a-6≤

9

2

，当x=6时，f（x）取得最大值为

9

2

．
当

21

4

≤a＜6时，2a-6＞

9

2

，当x=3时，f（x）取得最大值为2a-6．
综上得，M（a）=

9 2 ，(1＜a≤ 21 4 ) 2a-6，( 21 4 ＜a＜6)

点评：本题考查了含绝对值的函数的单调性的判断与证明以及函数的最值的求法问题，也考查了分类讨论思想与化归思想．