Question

已知公差大于零的等差数列{a_n}的前n项和为S_n，且满足a₃•a₄=117，a₂+a₅=22，求S_n的最小值．

Answer 1

考点：等差数列的性质

专题：等差数列与等比数列

分析：由已知条件推导出a₃，a₄是一元二次方程x²-22x+117=0的两个根，且a₃＜a₄，从而求出a₃=9，a₄=13，进而得到a₁=1，d=4，由此能求出S_n的最小值．

解答： 解：∵公差大于零的等差数列{a_n}的前n项和为S_n，
且满足a₃•a₄=117，a₂+a₅=22，
∴a₃+a₄=a₂+a₅=22，
∴a₃，a₄是一元二次方程x²-22x+117=0的两个根，且a₃＜a₄，
解得a₃=9，a₄=13，
∴

a1+2d=9 a1+3d=13

，
解得a₁=1，d=4，
∴S_n=n+

n(n-1)

2

•4
=2n²-n
=2（n²-

1

2

n）
=2（n-

1

4

）²-

1

8

，
∴n=1时，S_n取最小值1．

点评：本题考查数列的最小值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意韦达定理的合理运用．