Question

函数f（x）=x²-4x-4在闭区间[t，t+1]（t∈R）上的最小值记为g（t），
（1）当t=1时，求g（1）的值；
（2）求g（t）的解析式，并求g（t）最小值．

Answer 1

考点：函数解析式的求解及常用方法,二次函数的性质

专题：分类讨论

分析：（1）当t=1时，[t，t+1]=[1，2]，利用图象可判断f（x）=x²-4x-4单调性并求出最小值．
（2）按照对称轴在的位置分三种情况进行讨论，写成分段函数，最值求解按照分段函数分段求解的思路求解．

解答： 解：函数f（x）=x²-4x-4图象开口向上，对称轴为直线x=2，
（1）当t=1时，区间[t，t+1]为[1，2]，
函数在[1，2]上单调递减，最小值g（1）=f（2）=-8．
（2）当t+1≤2即t≤1时，函数在[t，t+1]单调递减，g（t）=f（t+1）=（t+1）²-4（t+1）-4=t²-2t-7；
当t＜2≤t+1即1＜t＜2时，函数在对称轴x=2处取得最小值，g（t）=f（2）=-8，
当t≥2时，函数在[t，t+1]单调递增，g（t）=f（t）=t²-4t-4，
综上g（t）的解析式为
g（t）=t

t2-2t-7   ，t≤1 -8           ，1＜t＜2 t2-2t-4，  t≥2

当t≤1时，g（t）=t²-2t-7，为二次函数，图象开口向上，在t=-

-2

2×1

=1时取得最小值g（1）=-8
当1＜t＜2时，g（t）=-8，
当t≥2时，g（t）=t²-2t-4，为二次函数，图象开口向上，对称轴直线为t=-

-2

2×1

=1，函数单调递增，t=2时取得最小值g（2）=-4
综上可述，t∈R时，g（t）最小值为-8

点评：本题考查二次函数的含参讨论问题，基本上分为三种情况进行讨论，最后写成分段函数．