Question

20．已知2cosθ+sinθ=0，且θ∈（0，π）．
（Ⅰ）分别求tanθ，sinθ，cosθ的值；
（Ⅱ）若sin（θ-φ）=$\frac{{\sqrt{10}}}{10}$，$\frac{π}{2}$＜φ＜π，求cosφ的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据2cosθ+sinθ=0，可得tanθ=-2，θ∈（0，π）．进一步缩小θ的范围，利用sin²θ+cos²θ=1，求出sinθ，cosθ的值；
（Ⅱ）构造思想，由cosφ=cos[θ-（θ-φ）]，利用和与差的公式即可求出．

解答 解（Ⅰ）∵2cosθ+sinθ=0，
∴tanθ=-2，
∵θ∈（0，π），又tanθ=-2．
可知θ∈（$\frac{π}{2}$，π），
∴sinθ＞0，cosθ＜0．
将2cosθ+sinθ=0代入sin²θ+cos²θ=1．
解得：$sinθ=\frac{{2\sqrt{5}}}{5}，cosθ=-\frac{{\sqrt{5}}}{5}$．
（Ⅱ）∵$\frac{π}{2}＜φ＜π，\frac{π}{2}＜θ＜π⇒-\frac{π}{2}＜θ-φ＜\frac{π}{2}$
∴$cos（θ-φ）=\sqrt{1-{{sin}^2}（θ-φ）}=\sqrt{1-\frac{1}{10}}=\frac{{3\sqrt{10}}}{10}$
∴cosφ=cos[θ-（θ-φ）]=cosθcos（θ-φ）+sinθsin（θ-φ）=$-\frac{{\sqrt{5}}}{5}×\frac{{3\sqrt{10}}}{10}+\frac{{2\sqrt{5}}}{5}×\frac{{\sqrt{10}}}{10}=-\frac{{\sqrt{2}}}{10}$．
故cosφ的值为$-\frac{\sqrt{2}}{10}$．

点评 本题考查了构造思想，同角三角函数的关系式的运用和计算能力，和与差的计算．属于基础题．